空间向量知识点总结
向量空间的定义
向量空间(或线性空间)是指同时满足以下条件的数学结构：
集合V内有两个特殊的元素：零向量0和其他被称为向量的元素。
V内的任意两个向量都可以作加法运算，得到一个新的向量。
V内的任意一个向量都可以和任意一个数(称为标量)作乘法运算，得到一个新的向量。
向量空间的基本性质
加法封闭性：向量空间中任意两个向量相加,结果仍在该空间内。
数乘封闭性：向量空间中任意一个向量与一个标量相乘,结果仍在该空间内。
结合律、交换律和分配律。
有限维向量空间的基
如果一个向量空间拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称该向量空间是有限维空间。可以生成一个向量空间 V 的线性独立子集，称为这个空间的基。对于非零向量空间 V，基是“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。
向量间的线性相关与线性无关
设有向量集合{v_1,v_2,...,v_n}，若存在一组不全为 0 的常数k_1,k_2,...,k_n，使得k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n=0，则称向量集合是线性相关的，否则称它是线性无关的。当向量集合线性无关时，任意新增一个向量后都会使得向量集合变成线性相关的。
线性子空间
设有向量空间V，若U是V的一个非空子集，并且当任意两个向量u,v∈U和任意标量k∈R (R为实数集)时，都有ku+v∈U ,则称U是V的一个线性子空间。
基变换和坐标向量
给定一个向量空间V及其有限维子空间W，设B={b_1,b_2,...,b_m}是W的一个基，对V中任意一个向量v，都可唯一地表示为v=c_1b_1+c_2b_2+...+c_mb_m，则(c_1,c_2,...,c_m)称为向量v在基B下的坐标向量，B与另一个基B'之间的变换称为基变换。
